Préparation au Bac 2025

Préparation au Bac - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Bac Spécialité 2022 Mayotte Liban - Exercice 2 - QCM suites, fonctions et fonctions logarithmes

Un récipient contenant initialement \( 3 \) litres d’eau est laissé au soleil.
Toutes les heures, le volume d’eau diminue de \( 10 \) %.

Au bout de quel nombre entier d’heures le volume d’eau devient-il inférieur à un quart de litre ?

On considère la suite \( (u_{n}) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \left\{\begin{matrix} u_{n+1} = -5 + \dfrac{2}{9}u_n \\ u_{0} = -6 \end{matrix}\right. \]

On peut affirmer que :

On considère la fonction \( f \) définie sur l'intervalle \( ]0;+\infty[ \) par : \[ f(x) = 5ln(2x) \]

Pour tout réel \( x \) de l'intervalle \( ]0;+\infty[ \), on a :

On considère la fonction \( g \) définie sur l'intervalle \( ] \dfrac{1}{4};+\infty[ \) par : \[ g(x) = \dfrac{ln(4x)}{4x - 1} \]
On note \( C_g \) la courbe représentative de la fonction \( g \) dans un repère orthogonal.

La courbe \( C_g \) admet :

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction \( h \) définie sur l'intervalle \( ]0;2] \) par : \[ h(x) = -5x^{2}(1+2ln(x)) \]
On note \( C_h \) la courbe représentative de \( h \) dans un repère du plan.
On admet que \( h \) est deux fois dérivables sur l'intervalle \( ]0;2] \).
On note \( h' \) sa dérivée et \( h'' \) sa dérivée seconde.
On admet que, pour tout réel \( x \) de l'intervalle \( ]0;2] \), on a : \[ h'(x) = -20x(1+ln(x)) \]

Sur l'intervalle \( [\dfrac{1}{e};2] \), la fonction \( h \) s'annule :
Une équation de la tangente à \( C_h \) au point d'abscisse \( \sqrt{e} \) est :
Sur l'intervalle \( ]0;2] \), le nombre de points d'inflexion de la courbe \( C_h \) est égal à :

Exercice 2 : Bac Spécialité 2022 Amérique du Nord - Exercice 3 - Géométrie dans l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k})\) d’unité \(1\) \(\text{cm}\), on considère les points suivants : \(J(-3; 3; 9)\), \(K(-6; 9; 9)\), \(L(-39; -15; -18)\)

Donner la ou les caractéristiques correctes pour le triangle \(JKL\).
Donner une valeur approchée de l’aire du triangle \(JKL\).

On donnera le résultat en \(\text{cm}^{2}\) et arrondi à \(0,01\) \(\text{cm}^{2}\) près.
Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle géométrique \(\widehat{JKL}\).
Sélectionner le ou les vecteurs normaux au plan \((JKL)\).
En déduire une équation cartésienne du plan \((JKL)\).

Dans la suite, \(T\) désigne le point de coordonnées \((-10; -1; 14)\).

Lequel de ces systèmes d'équations paramétriques est une représentation paramétrique de la droite \( \Delta \), orthogonale au plan \(JKL\) et passant par \(T\) ?
Déterminer les coordonnées du point \(H\), projeté orthogonal du point \(T\) sur le plan \(JKL\).

On séparera les coordonnées avec un point-virgule.
Voici un exemple de réponse attendue : \((1;2;-1)\)

On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par la formule :

\(V = \frac{1}{3} B \times h\) où \(B\) désigne l’aire d’une base et \(h\) la hauteur correspondante.

Donner une valeur approchée du volume du tétraèdre \(JKLT\) en \(\text{cm}^{3}\).

On donnera le résultat arrondi à \(0,001\) \(\text{cm}^{3}\) près.

Exercice 3 : Bac Spécialité 2024 Centres étrangers - Exercice 3 - Équation différentielle

On considère l'équation différentielle \[(E_{0}): y'=2y\]
où \(y\) est une fonction dérivable de la variable réelle \(x\).

1. Donner l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle \((E_{0})\).
2. Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle \((E_{0})\).

On donnera la réponse sous la forme \(y=f(x, k)\), avec \(f\) la forme générale de la solution et \(k \in \mathbb{R}\) une constante.

On considère l'équation différentielle \[(E): y'=-5\operatorname{cos}{\left(x \right)} + 2y + 5\operatorname{sin}{\left(x \right)}\]
On introduit la fonction \(h\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=-3\operatorname{sin}{\left(x \right)} + \operatorname{cos}{\left(x \right)}\).
On admet qu'elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

3. Calculer la dérivée de \(h(x)\).
4. Exprimer \(h'\) en fonction de \(h\).
5. On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Parmi les quatre propositions, laquelle est vraie ?
6. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle \((E)\).
On donnera la réponse sous la forme \(y=f(x, k)\), avec \(f\) la forme générale de la solution et \(k \in \mathbb{R}\) une constante.
7. Déterminer l'unique solution \(g\) de l'équation différentielle \((E)\) telle que \(g(0)=0\).
8. Calculer : \[ \int_{0}^{{{\pi}/2}} g(x) \, dx \]

Exercice 4 : Bac - Probabilités, suite et Python

Pour préparer l'examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation : la formation avec conduite accompagnée et la formation traditionnelle.

On considère un groupe de \( 375 \) personnes venant de réussir l'examen du permis de conduire.
Dans ce groupe :
  • - \( -120 + 255 \) personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, \( 120 \) ont réussi l'examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.
  • - \( 240 \) personnes se sont présentées à l'examen suite à une formation traditionnelle ; parmi elles, \( 180 \) ont réussi l'examen à la première présentation, \( 40 \) à la deuxième et \( 20 \) à la troisième présentation.
On interroge au hasard une personne du groupe considéré.
On considère les événements suivants :
  • - \( A \) : « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée » ;
  • - \( T \) : « la personne a suivi une formation traditionnelle » ;
  • - \( R1 \) : « la personne a réussi l’examen à la première présentation » ;
  • - \( R2 \) : « la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation » ;
  • - \( R3 \) : « la personne a réussi l’examen à la troisième présentation ».
Modéliser la situation par un arbre pondéré.
{"A": {"R1": {"value": " "}, "R2": {"value": " "}, "value": " "}, "T": {"R1": {"value": " "}, "R2": {"value": " "}, "R3": {"value": " "}, "value": " "}}

Essais restants : 2

Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation.
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.
Calculer la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation.
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.
La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation.
Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.

On note \( X \) la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu’à sa réussite. Ainsi, \( X = 1\) correspond à l'événement \( R1 \).

Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \( X \).
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.
{"header_left": ["\\(x_i\\)", "\\( P( X = x_i ) \\)"], "data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"]]}
Calculer l’espérance de cette variable aléatoire.
On répondra sous la forme d'une fraction simplifiée.

On choisit, successivement et de façon indépendante, \( n \) personnes parmi les \( 375 \) du groupe étudié, où \( n \) est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de \( n \) personnes parmi les \( 375 \) personnes du groupe.

Dans le contexte de cette question, exprimer la probabilité qu'au moins une personne parmi \( n \) personnes choisies réussisse l'examen à la troisième présentation.
Compléter la fonction seuil qui calcule le nombre de tirage minimums à effectuer pour que la probabilité de réaliser l’évènement \( R3 \) soit supérieure ou égale à la probabilité \( p \) en entrée de la fonction.
La fonction renverra -1 si le seuil n'est pas atteignable.
{"inputs": [[0.1], [0.2], [0.5], [0.9], [1]], "studentCode": "", "initCode": "%{def seuil(p):}s", "nbAttemptsLeft": 2, "outputs": [[], [], [], [], []]}

Essais restants : 2

Exercice 5 : Bac Général 2021 - Exercice 1 - Suites et Analyse

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, sélectionner la ou les réponses proposées exactes.

On considère les suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) telles que :
Pour tout entier naturel \( n \), \[ u_n = 1 - \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n} \] \[ v_n = 1 + \left(\dfrac{1}{8}\right)^{n} \] On considère de plus une suite \( (w_n) \) qui, pour tout entier naturel \( n \), vérifie \( u_n \leq w_n \leq v_n \).


On peut affirmer que :
  • ALa suite \( (w_n) \) est décroisssante
  • B Les suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) sont géométriques
  • C\( (w_n) \) converge vers \( 1 \)
  • DLa suite \( (v_n) \) est majorée par \( 1 \)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \[ f(x) = \left(- x -4\right)e^{-2x^{2} - x -1} \]

La fonction dérivée de \( f \) est la fonction \( f' \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :
Déterminer : \[ \lim_{x \to -\infty}{\dfrac{-4x -6}{4x^{2} -7x -2}} \]

On considère une fonction \( h \) continue sur l’intervalle \( \left[ -10 ; -1 \right] \) telle que \[ h(-10) = 5 \quad h(- \dfrac{11}{2}) = 10 \quad h(-1) = 5 \]

On peut affirmer que :
  • ALa fonction \( h \) est croissante sur l’intervalle \( \left[ -10; - \dfrac{11}{2} \right] \).
  • BLa fonction \( h \) est positive sur l'intervalle \( \left[ -10; -1 \right] \)
  • CIl existe au moins un nombre réel \( a \) dans l’intervalle \( \left[ - \dfrac{11}{2}; -1 \right] \) tel que \( h(a) = 11 \).
  • DL’équation \( h(x) = 6 \) admet au moins deux solutions dans l’intervalle \( \left[ -10; -1 \right] \).

On suppose que \( g \) est une fonction dérivable sur l’intervalle \( \left[ −4; 4\right] \). On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée \( g′ \).

On peut affirmer que :
  • A\( g \) est décroissante sur l’intervalle \( \left[ -2; 0 \right] \).
  • B\( g \) admet un maximum en \( 2 \).
  • C\( g \) est convexe sur l’intervalle \( \left[ 1; 2 \right] \).
  • D\( g \) admet un minimum en \( 1 \).
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